Variable compleja

No me dió tiempo de terminarlo... :(

2º Examen parcial de Variable Compleja básica.

1. Sea f analítica en una región A, sea w un punto de A, y sea D(w,R) un disco de radio positivo R contenido en A. Entonces, para cada z en el disco se cumple que f(z) es la suma desde k igual a cero hasta infinito de
f^(k)(w) · (z-w)^k / k!
donde f^(k)(w) representa la k-ésima derivada de f evaluada en w.

2. Enunciar y demostrar el Teorema de Liouville.

3. Sea f analítica en una región A y suponga que existe R positivo tal que
| f(z) | es menor o igual a | f(w) | para todo z contenido en D(w,R), el cual a su vez está contenido en A. Pruebe que f es constante en el disco mencionado.

4. Si |a| es menor a 1, y si
f(z) = (z - a ) / (1 - bz)
donde b es el conjugado de a, pruebe que |f(z)| es menor a 1 para todo z que cumpla |z|<1.

5. Dar dos demostraciones del teorema fundamental del álgebra.