18 Olimpiada Mexicana de Matemáticas
Concurso Nacional
Concurso Nacional
1. Encuentra todos los números primos p, q, r con p < q < r que cumplan 25pq+r = 2004 y que pqr + 1 sea un cuadrado perfecto.
2. ¿Cuál es la mayor cantidad de enteros positivos que se pueden encontrar de manera que cualesquiera dos de ellos a, b (con a distinto de b) satisfagan
| a - b | mayor o igual ab/100
3. Sean Z, Y los puntos de tangencia del incírculo del triángulo ABC con los lados AB, CA respectivamente. La paralela a YZ por el punto medio M del lado BC corta a CA en N. Sea L el punto sobre CA tal que NL=AB (y L del mismo lado de N que de A). La recta ML corta a AB en K. Muestra que KA=NC.
4. Al final de un torneo de futbol en el que cada par de equipos jugaron entre sí exactamente una vez y donde no hubo empates, se observó que para cualesquiera tres equipos A, B, C, si A le ganó a B, y B le ganó a C, entonces A le ganó a C.
Cada equipo calculó la diferencia (positiva) entre el número de partidos que ganó y el número de partidos que perdió. La suma de todas esas diferencias resultó ser 5000. ¿Cuántos equipos participaron en el torneo? Encuentra todas las respuestas posibles.
5. Sean X, Y dos circunferencias tales que el centro O de Y está sobre X. Sean C, D los dos puntos de intersección de las circunferencias. Se toman un punto A en X y un punto B en Y tales que AC es tangente a Y en C y BC es tangente a A en el mismo punto C. El segmento AB corta de nuevo a Y en E, y ese mismo segmento corta de nuevo a X en F. La recta CE vuelve a cortar a X en G, y la recta CF corta a la recta GD en H. Prueba que el punto de intersección de GO y EH es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo DEF.
6. ¿Cuál es el mayor número posible de cambios de dirección en un recorrido sobre las líneas de una cuadrícula de 2004x2004 casillas, si el recorrido no pasa dos veces por un mismo lugar?
3. Sean Z, Y los puntos de tangencia del incírculo del triángulo ABC con los lados AB, CA respectivamente. La paralela a YZ por el punto medio M del lado BC corta a CA en N. Sea L el punto sobre CA tal que NL=AB (y L del mismo lado de N que de A). La recta ML corta a AB en K. Muestra que KA=NC.
4. Al final de un torneo de futbol en el que cada par de equipos jugaron entre sí exactamente una vez y donde no hubo empates, se observó que para cualesquiera tres equipos A, B, C, si A le ganó a B, y B le ganó a C, entonces A le ganó a C.
Cada equipo calculó la diferencia (positiva) entre el número de partidos que ganó y el número de partidos que perdió. La suma de todas esas diferencias resultó ser 5000. ¿Cuántos equipos participaron en el torneo? Encuentra todas las respuestas posibles.
5. Sean X, Y dos circunferencias tales que el centro O de Y está sobre X. Sean C, D los dos puntos de intersección de las circunferencias. Se toman un punto A en X y un punto B en Y tales que AC es tangente a Y en C y BC es tangente a A en el mismo punto C. El segmento AB corta de nuevo a Y en E, y ese mismo segmento corta de nuevo a X en F. La recta CE vuelve a cortar a X en G, y la recta CF corta a la recta GD en H. Prueba que el punto de intersección de GO y EH es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo DEF.
6. ¿Cuál es el mayor número posible de cambios de dirección en un recorrido sobre las líneas de una cuadrícula de 2004x2004 casillas, si el recorrido no pasa dos veces por un mismo lugar?
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