La fantasía es un gusano que carcome e imprime surcos en vuestras frentes - E. Z.

lunes, agosto 30, 2004

el de álgebra

Examen General de Algebra.
Resuelve al menos ocho de los siguientes problemas.

  • Sea G un grupo finito. Demuestra que #{(a,b) : ab = ba } = G · (#clases de conjugación de G).
  • Sean p y q dos números primos diferentes. Demuestra que no existen grupos simples de orden p2q.
  • Sean G un grupo finito y H un subgrupo de G con índice 6 tal que H tiene al menos 4 subgrupos conjugados en G (incluyendo H). Demuestra que NG(H)=H.
  • Escribe al grupo Z3/< (2,0,4), (2,2,2), (0,4,4) > como suma directa de grupos cíclicos.
  • Sea A la matriz [2,0,-3 7,2,0 0,0,1]. Calcula su polinomio mínimo, su polinomio característico y su forma canónica de Jordan sobre C.
  • Sea D un dominio de ideales principales y E un dominio entero que contiene a D. Demuestra que si d es un máximo común divisor de a, b en D, entonces también lo es en E.
  • Sean a, b elementos de C algebraicos sobre Q. Demuestra directamente que existe g en tal que Q(a, b) = Q(g).
  • Sea K un campo. Demuestra que el campo de cocientes del anillo K[[x]] de series formales de potencias es igual a SUMA anxn con n desde algún entero hasta infinito.
  • Encuentra el grupo de Galois del polinomio x5-2 sobre Q.
  • Sea K un campo de característica p positiva. Demuestra que el polinomio xp-a es irreducible en K o se factoriza totalmente en K[x].

martes, agosto 24, 2004

Exámenes Generales

Los exámenes generales (qualifying) o básicos son el terror de los estudiantes. Ya va el primero (topología).

Examen General de Topología
Resuelve 5 problemas.

  1. Considera el conjunto R de los reales con la topología que resulta de tomar como base a los intervalos (a, b] con a,b reales y a < b. Entonces el conjunto { (a, b) : a+b=1} sí es discreto como subespacio. ¿Es RxR en esta topología Lindelöf? ¿Es normal?
  2. Si X, Y son conexos y A, B son subconjuntos propios respectivos, entonces (XxY)\(AxB) es conexo. ¿Es válido el resultado análogo para conexidad por trayectorias?
  3. Si X es segundo numerable y A es subconjunto de X no numerable, entonces A posee al menos un punto de acumulación.
  4. Un espacio topológico (Hausdorff) X es pseudocompacto si toda función f:X ---> R cumple que el rango f(X) es un subconjunto acotado de R. Prueba que todo espacio completamente regular y numerablemente compacto es pseudocompacto. ¿Sigue siendo válido el resultado si se omite la condición de regularidad completa?
  5. Sean X, Y espacios topológicos y E un espacio simplemente conexo tales que existen funciones recubridoras q:E--->Y y p:X--->Y. Entonces existe función continua g:E--->X tal que q = p·g. Más aún, g es una función recubridora.
  6. Sea Z el conjunto de los enteros y bZ su compactificación de Stone-Cech. Prueba que las únicas sucesiones de enteros convergentes en bZ son las triviales.
Y aún falta el de álgebra el Viernes 27....

domingo, agosto 15, 2004

arte digital

Para variar un poco, una página de arte digital (esto es, hecho en, o con ayuda de computadoras) con gran variedad: Raster art group Las exposiciones están bajo el menú "Chapters". Algunas que en particular me agradaron:

Quixote
Guant
Phunk Monk 3
Solus
Composition Nº 103
Heart broken
Virgin

miércoles, agosto 11, 2004

Fin de vacaciones

El final de vacaciones es el inicio de los exámenes.



Examen final de Algebra Básica

Resuelve al menos 8 problemas.

  1. Sean G un grupo finito y K un subgrupo normal de G. Sean p un número primo y P un p-subgrupo normal de Sylow de K. Prueba que KNG(P)=G.
  2. Prueba que ningún grupo de orden 36 es simple.
  3. ¿Cuántos grupos de orden 39 hay salvo isomorfismo?
  4. Sea R un dominio entero que no es campo. Prueba que R[x] no es un dominio de ideales principales.
  5. Sea F un campo. Prueba que en F[x] hay un número infinito de irreducibles.
  6. Sea M un módulo noetheriano y f un endomorfismo de suprayectivo. Prueba que f es isomorfismo.
  7. Sea A un subgrupo finitamente generado de Q. Prueba que A es cíclico.
  8. Calcula la estructura del grupo abeliano Z3/<(2,2,2),(3,0,-6)>.
  9. Sea R un anillo conmutativo y sea I un ideal de R. Prueba que si R/I es libre, entonces I=0.
  10. Sea w una raíz cúbica primitiva de 1 sobre Q y sea t la raíz cúbica real positiva de 3. Sea K = Q(t,w). Prueba que K/Q es una extensión de Galois y calcula su grupo de Galois.
  11. Sean K < L < E extensiones de campos y supongamos que E/K, K/L son de Galois. Prueba que Gal(E/L) es un subgrupo normal de Gal(E/K) y que Gal(L/K) es isomorfo a Gal(E/K) / Gal(E/L)