La fantasía es un gusano que carcome e imprime surcos en vuestras frentes - E. Z.

martes, agosto 24, 2004

Exámenes Generales

Los exámenes generales (qualifying) o básicos son el terror de los estudiantes. Ya va el primero (topología).

Examen General de Topología
Resuelve 5 problemas.

  1. Considera el conjunto R de los reales con la topología que resulta de tomar como base a los intervalos (a, b] con a,b reales y a < b. Entonces el conjunto { (a, b) : a+b=1} sí es discreto como subespacio. ¿Es RxR en esta topología Lindelöf? ¿Es normal?
  2. Si X, Y son conexos y A, B son subconjuntos propios respectivos, entonces (XxY)\(AxB) es conexo. ¿Es válido el resultado análogo para conexidad por trayectorias?
  3. Si X es segundo numerable y A es subconjunto de X no numerable, entonces A posee al menos un punto de acumulación.
  4. Un espacio topológico (Hausdorff) X es pseudocompacto si toda función f:X ---> R cumple que el rango f(X) es un subconjunto acotado de R. Prueba que todo espacio completamente regular y numerablemente compacto es pseudocompacto. ¿Sigue siendo válido el resultado si se omite la condición de regularidad completa?
  5. Sean X, Y espacios topológicos y E un espacio simplemente conexo tales que existen funciones recubridoras q:E--->Y y p:X--->Y. Entonces existe función continua g:E--->X tal que q = p·g. Más aún, g es una función recubridora.
  6. Sea Z el conjunto de los enteros y bZ su compactificación de Stone-Cech. Prueba que las únicas sucesiones de enteros convergentes en bZ son las triviales.
Y aún falta el de álgebra el Viernes 27....

2 comentarios:

Jairo dijo...

Cómo se demuestra el punto 1.?

Daniel Lopez Aguayo dijo...

¿Te refieres a probar que A es discreto como subespacio?

En ese caso, sea:
A = { (a,b) : a+b= 1} y nota que A representa en una recta en R^2 con pendiente negativa (de -1). Sea (a,b) un punto de A entonces nota que el elemento [a,a+1) x [b,b+1) es un producto de elementos básicos en R_l luego es abierto en la topologia producto del limite inferior. Pero si intersectas [a,a+1) x [b,b+1) con la recta definida por A obtienes precisamente (a,b). Dada la arbitrariedad del punto se sigue que A es discreto como subespacio. Saludos