Fin de vacaciones

El final de vacaciones es el inicio de los exámenes.



Examen final de Algebra Básica

Resuelve al menos 8 problemas.

1. Sean G un grupo finito y K un subgrupo normal de G. Sean p un número primo y P un p-subgrupo normal de Sylow de K. Prueba que KN_G(P)=G.
2. Prueba que ningún grupo de orden 36 es simple.
3. ¿Cuántos grupos de orden 39 hay salvo isomorfismo?
4. Sea R un dominio entero que no es campo. Prueba que R[x] no es un dominio de ideales principales.
5. Sea F un campo. Prueba que en F[x] hay un número infinito de irreducibles.
6. Sea M un módulo noetheriano y f un endomorfismo de suprayectivo. Prueba que f es isomorfismo.
7. Sea A un subgrupo finitamente generado de Q. Prueba que A es cíclico.
8. Calcula la estructura del grupo abeliano Z³/<(2,2,2),(3,0,-6)>.
9. Sea R un anillo conmutativo y sea I un ideal de R. Prueba que si R/I es libre, entonces I=0.
10. Sea w una raíz cúbica primitiva de 1 sobre Q y sea t la raíz cúbica real positiva de 3. Sea K = Q(t,w). Prueba que K/Q es una extensión de Galois y calcula su grupo de Galois.
11. Sean K < L < E extensiones de campos y supongamos que E/K, K/L son de Galois. Prueba que Gal(E/L) es un subgrupo normal de Gal(E/K) y que Gal(L/K) es isomorfo a Gal(E/K) / Gal(E/L)