el de álgebra

Examen General de Algebra.
Resuelve al menos ocho de los siguientes problemas.

• Sea G un grupo finito. Demuestra que #{(a,b) : ab = ba } = G · (#clases de conjugación de G).
• Sean p y q dos números primos diferentes. Demuestra que no existen grupos simples de orden p²q.
• Sean G un grupo finito y H un subgrupo de G con índice 6 tal que H tiene al menos 4 subgrupos conjugados en G (incluyendo H). Demuestra que N_G(H)=H.
• Escribe al grupo Z³/< (2,0,4), (2,2,2), (0,4,4) > como suma directa de grupos cíclicos.
• Sea A la matriz [2,0,-3 7,2,0 0,0,1]. Calcula su polinomio mínimo, su polinomio característico y su forma canónica de Jordan sobre C.
• Sea D un dominio de ideales principales y E un dominio entero que contiene a D. Demuestra que si d es un máximo común divisor de a, b en D, entonces también lo es en E.
• Sean a, b elementos de C algebraicos sobre Q. Demuestra directamente que existe g en tal que Q(a, b) = Q(g).
• Sea K un campo. Demuestra que el campo de cocientes del anillo K[[x]] de series formales de potencias es igual a SUMA a_nxⁿ con n desde algún entero hasta infinito.
• Encuentra el grupo de Galois del polinomio x⁵-2 sobre Q.
• Sea K un campo de característica p positiva. Demuestra que el polinomio x^p-a es irreducible en K o se factoriza totalmente en K[x].