Primer Examen de Teoría de los Números

Nos dan casi 3 semanas para resolverlo, consultando cualquier fuente, y no tengo idea en este momento qué hacer salvo en los primeros.

Parcial de Teoría de Números

1. a) Prueba que la ecuación x^2 + y^4 = z^3 admite una infinidad de soluciones enteras (x,y,z) con xyz diferente de cero, y mcd(x,y)=1
   b) Prueba usando el método de descenso infinito que la ecuación diofantina x^4 + y^4 = z^2 no admite solución entera con xyz diferente de cero y mcd(x,y)=1.
2. Encuentra todas las soluciones enteras a x^2 + 2^y = z^3 con x impar. (Opcional: ¿Puedes encontrar las soluciones de la ecuación anterior con x par? )
3. Prueba que si f(X) está en Z[X] y es tal que f(n) es un cuadrado perfecto para todos los números naturales n, entonces existe g en Z[X] tal que f = g^2.
4. Prueba que cada f en Z[X] puede escribirse como la suma de dos polinomios irreducibles.
5. Prueba que la suma desde n=1 hasta infinito de (n!)^(n!) es trascendente.
6. Encuentra un elemento primitivo de la extensión más pequeña de Q que contiene a la razí cúbica de 2.
7. Encuentra una base integral para Q[ raiz(-3), raiz(5) ].
8. Encuentra todos los racionales x tales que sen(pi x) sea igual a (+-)raiz(y1) (+-) raiz(y2) (+-) ... ( +-) raiz(yn) en donde los y1, y2, ..., yn son racionales y (+-) representa el símbolo de "más-menos".