el de álgebra

Examen General de Algebra.
Resuelve al menos ocho de los siguientes problemas.

• Sea G un grupo finito. Demuestra que #{(a,b) : ab = ba } = G · (#clases de conjugación de G).
• Sean p y q dos números primos diferentes. Demuestra que no existen grupos simples de orden p²q.
• Sean G un grupo finito y H un subgrupo de G con índice 6 tal que H tiene al menos 4 subgrupos conjugados en G (incluyendo H). Demuestra que N_G(H)=H.
• Escribe al grupo Z³/< (2,0,4), (2,2,2), (0,4,4) > como suma directa de grupos cíclicos.
• Sea A la matriz [2,0,-3 7,2,0 0,0,1]. Calcula su polinomio mínimo, su polinomio característico y su forma canónica de Jordan sobre C.
• Sea D un dominio de ideales principales y E un dominio entero que contiene a D. Demuestra que si d es un máximo común divisor de a, b en D, entonces también lo es en E.
• Sean a, b elementos de C algebraicos sobre Q. Demuestra directamente que existe g en tal que Q(a, b) = Q(g).
• Sea K un campo. Demuestra que el campo de cocientes del anillo K[[x]] de series formales de potencias es igual a SUMA a_nxⁿ con n desde algún entero hasta infinito.
• Encuentra el grupo de Galois del polinomio x⁵-2 sobre Q.
• Sea K un campo de característica p positiva. Demuestra que el polinomio x^p-a es irreducible en K o se factoriza totalmente en K[x].
  

Exámenes Generales

Los exámenes generales (qualifying) o básicos son el terror de los estudiantes. Ya va el primero (topología).

Examen General de Topología
Resuelve 5 problemas.

1. Considera el conjunto R de los reales con la topología que resulta de tomar como base a los intervalos (a, b] con a,b reales y a < b. Entonces el conjunto { (a, b) : a+b=1} sí es discreto como subespacio. ¿Es RxR en esta topología Lindelöf? ¿Es normal?
2. Si X, Y son conexos y A, B son subconjuntos propios respectivos, entonces (XxY)\(AxB) es conexo. ¿Es válido el resultado análogo para conexidad por trayectorias?
3. Si X es segundo numerable y A es subconjunto de X no numerable, entonces A posee al menos un punto de acumulación.
4. Un espacio topológico (Hausdorff) X es pseudocompacto si toda función f:X ---> R cumple que el rango f(X) es un subconjunto acotado de R. Prueba que todo espacio completamente regular y numerablemente compacto es pseudocompacto. ¿Sigue siendo válido el resultado si se omite la condición de regularidad completa?
5. Sean X, Y espacios topológicos y E un espacio simplemente conexo tales que existen funciones recubridoras q:E--->Y y p:X--->Y. Entonces existe función continua g:E--->X tal que q = p·g. Más aún, g es una función recubridora.
6. Sea Z el conjunto de los enteros y bZ su compactificación de Stone-Cech. Prueba que las únicas sucesiones de enteros convergentes en bZ son las triviales.

Y aún falta el de álgebra el Viernes 27....

arte digital

Para variar un poco, una página de arte digital (esto es, hecho en, o con ayuda de computadoras) con gran variedad: Raster art group Las exposiciones están bajo el menú "Chapters". Algunas que en particular me agradaron:

Quixote
Guant
Phunk Monk 3
Solus
Composition Nº 103
Heart broken
Virgin

Fin de vacaciones

El final de vacaciones es el inicio de los exámenes.



Examen final de Algebra Básica

Resuelve al menos 8 problemas.

1. Sean G un grupo finito y K un subgrupo normal de G. Sean p un número primo y P un p-subgrupo normal de Sylow de K. Prueba que KN_G(P)=G.
2. Prueba que ningún grupo de orden 36 es simple.
3. ¿Cuántos grupos de orden 39 hay salvo isomorfismo?
4. Sea R un dominio entero que no es campo. Prueba que R[x] no es un dominio de ideales principales.
5. Sea F un campo. Prueba que en F[x] hay un número infinito de irreducibles.
6. Sea M un módulo noetheriano y f un endomorfismo de suprayectivo. Prueba que f es isomorfismo.
7. Sea A un subgrupo finitamente generado de Q. Prueba que A es cíclico.
8. Calcula la estructura del grupo abeliano Z³/<(2,2,2),(3,0,-6)>.
9. Sea R un anillo conmutativo y sea I un ideal de R. Prueba que si R/I es libre, entonces I=0.
10. Sea w una raíz cúbica primitiva de 1 sobre Q y sea t la raíz cúbica real positiva de 3. Sea K = Q(t,w). Prueba que K/Q es una extensión de Galois y calcula su grupo de Galois.
11. Sean K < L < E extensiones de campos y supongamos que E/K, K/L son de Galois. Prueba que Gal(E/L) es un subgrupo normal de Gal(E/K) y que Gal(L/K) es isomorfo a Gal(E/K) / Gal(E/L)