The Candy Man!

The Candy Man makes everything he bakes satisfying and delicious
Talk about your childhood wishes, you can even eat the dishes

Yeah, yeah, yeah
Who can take tomorrow, dip it in a dream
Separate the sorrow and collect up all the cream
The Candy Man, the Candy Man can
The Candy Man can 'cause he mixes it with love
and makes the world taste good
Yes, the Candy Man can 'cause he mixes it with love
and makes the world taste good
a-Candy Man, a-Candy Man, a-Candy Man
Candy Man, a-Candy Man, a-Candy Man
Candy Man, a-Candy Man, a-Candy Man

Primer Examen de Teoría de los Números

Nos dan casi 3 semanas para resolverlo, consultando cualquier fuente, y no tengo idea en este momento qué hacer salvo en los primeros.

Parcial de Teoría de Números

1. a) Prueba que la ecuación x^2 + y^4 = z^3 admite una infinidad de soluciones enteras (x,y,z) con xyz diferente de cero, y mcd(x,y)=1
   b) Prueba usando el método de descenso infinito que la ecuación diofantina x^4 + y^4 = z^2 no admite solución entera con xyz diferente de cero y mcd(x,y)=1.
2. Encuentra todas las soluciones enteras a x^2 + 2^y = z^3 con x impar. (Opcional: ¿Puedes encontrar las soluciones de la ecuación anterior con x par? )
3. Prueba que si f(X) está en Z[X] y es tal que f(n) es un cuadrado perfecto para todos los números naturales n, entonces existe g en Z[X] tal que f = g^2.
4. Prueba que cada f en Z[X] puede escribirse como la suma de dos polinomios irreducibles.
5. Prueba que la suma desde n=1 hasta infinito de (n!)^(n!) es trascendente.
6. Encuentra un elemento primitivo de la extensión más pequeña de Q que contiene a la razí cúbica de 2.
7. Encuentra una base integral para Q[ raiz(-3), raiz(5) ].
8. Encuentra todos los racionales x tales que sen(pi x) sea igual a (+-)raiz(y1) (+-) raiz(y2) (+-) ... ( +-) raiz(yn) en donde los y1, y2, ..., yn son racionales y (+-) representa el símbolo de "más-menos".
   

el de álgebra

Examen General de Algebra.
Resuelve al menos ocho de los siguientes problemas.

• Sea G un grupo finito. Demuestra que #{(a,b) : ab = ba } = G · (#clases de conjugación de G).
• Sean p y q dos números primos diferentes. Demuestra que no existen grupos simples de orden p²q.
• Sean G un grupo finito y H un subgrupo de G con índice 6 tal que H tiene al menos 4 subgrupos conjugados en G (incluyendo H). Demuestra que N_G(H)=H.
• Escribe al grupo Z³/< (2,0,4), (2,2,2), (0,4,4) > como suma directa de grupos cíclicos.
• Sea A la matriz [2,0,-3 7,2,0 0,0,1]. Calcula su polinomio mínimo, su polinomio característico y su forma canónica de Jordan sobre C.
• Sea D un dominio de ideales principales y E un dominio entero que contiene a D. Demuestra que si d es un máximo común divisor de a, b en D, entonces también lo es en E.
• Sean a, b elementos de C algebraicos sobre Q. Demuestra directamente que existe g en tal que Q(a, b) = Q(g).
• Sea K un campo. Demuestra que el campo de cocientes del anillo K[[x]] de series formales de potencias es igual a SUMA a_nxⁿ con n desde algún entero hasta infinito.
• Encuentra el grupo de Galois del polinomio x⁵-2 sobre Q.
• Sea K un campo de característica p positiva. Demuestra que el polinomio x^p-a es irreducible en K o se factoriza totalmente en K[x].
  

Exámenes Generales

Los exámenes generales (qualifying) o básicos son el terror de los estudiantes. Ya va el primero (topología).

Examen General de Topología
Resuelve 5 problemas.

1. Considera el conjunto R de los reales con la topología que resulta de tomar como base a los intervalos (a, b] con a,b reales y a < b. Entonces el conjunto { (a, b) : a+b=1} sí es discreto como subespacio. ¿Es RxR en esta topología Lindelöf? ¿Es normal?
2. Si X, Y son conexos y A, B son subconjuntos propios respectivos, entonces (XxY)\(AxB) es conexo. ¿Es válido el resultado análogo para conexidad por trayectorias?
3. Si X es segundo numerable y A es subconjunto de X no numerable, entonces A posee al menos un punto de acumulación.
4. Un espacio topológico (Hausdorff) X es pseudocompacto si toda función f:X ---> R cumple que el rango f(X) es un subconjunto acotado de R. Prueba que todo espacio completamente regular y numerablemente compacto es pseudocompacto. ¿Sigue siendo válido el resultado si se omite la condición de regularidad completa?
5. Sean X, Y espacios topológicos y E un espacio simplemente conexo tales que existen funciones recubridoras q:E--->Y y p:X--->Y. Entonces existe función continua g:E--->X tal que q = p·g. Más aún, g es una función recubridora.
6. Sea Z el conjunto de los enteros y bZ su compactificación de Stone-Cech. Prueba que las únicas sucesiones de enteros convergentes en bZ son las triviales.

Y aún falta el de álgebra el Viernes 27....

arte digital

Para variar un poco, una página de arte digital (esto es, hecho en, o con ayuda de computadoras) con gran variedad: Raster art group Las exposiciones están bajo el menú "Chapters". Algunas que en particular me agradaron:

Quixote
Guant
Phunk Monk 3
Solus
Composition Nº 103
Heart broken
Virgin