El primer examen fue el último parcial (dado que apenas alcanzó el tiempo para cubrir Teoría de Galois antes de vacaciones). El tema es anillos y módulos.
Segundo Examen De Algebra Básica
- Determina la estructura del grupo abeliano
Z3/ < (6,9,3), (0,3,-3),(-3,6,0) > - Demuestra que el k[x]-módulo determinado por la transformación lineal f:V ---> V es cíclico sí y sólo si el polinomio característico y el polinomio mínimo de f coinciden
- Sea M un módulo libre finitamente generado sobre un DIP R Sea R un submódulo de M. Prueba que N es libre.
- Sea k un campo. Sean A, B matrices cuadradas con coeficientes en k. Prueba que son similares (conjugadas) si y sólo si xI-A y xI-B son equivalentes (existen matrices invertibles P,Q con coeficientes en k[x] tales que xI-A=Q(xI-B)P).
- Prueba que cualquier matriz cuadrada A sobre un campo k es similar a su matriz transpuesta.
Al dia siguiente (jueves) fue el examen final de Topología, que por una confusión mía tenía planeado para el martes, lo cual fue la causa de que ya lleve 3 noches de mal sueño.
Examen Final de Topología Basica
- Prueba que todo espacio métrico (X,d) compacto es completo.
- Prueba que Q como subespacio de R no es localmente compacto.
- Si T es un espacio de Tychonoff y |T| < |R|, entonces T no es conexo.
- Si bX es la compactificación de Stone-Cech de X, y si bX es diferente a X, prueba que bX no es metrizable
- Si un espacio paracompacto cumple que todos sus abiertos son paracompactos, entonces el espacio es hereditariamente paracompacto.
- Prueba que un espacio paracompacto que posee un subconjunto denso Lindelöf debe ser Lindelöf.
- Sean q:E --> X y r:X --> Y funciones recubridoras tales que
r-1({y}) es finito para todo y en Y. Prueba que la composición p=r·q es una función recubridora.
